Teorema de Pitágoras

Este é um triângulo retângulo: tem um ângulo de 90°, marcado no cantinho.

Os dois lados que formam o ângulo reto são os catetos.

O lado de cima, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa. É sempre o maior lado.

Repare: os catetos encostam no ângulo reto. A hipotenusa é o único lado que não encosta nele.

Vamos chamar os catetos de a e b, e a hipotenusa de c.

Pegue um triângulo retângulo com catetos 3 e 4, e hipotenusa 5.

Desenhe um quadrado sobre cada cateto e um sobre a hipotenusa. A área de cada quadrado é o lado ao quadrado.

Conte os quadradinhos: o quadrado do cateto 3 tem 9 quadradinhos. O do cateto 4 tem 16.

O quadrado da hipotenusa tem 25 quadradinhos.

9 + 16 = 25! A soma das áreas dos catetos é igual à área da hipotenusa. É essa ideia que o teorema formaliza.

Pegue 4 triângulos idênticos e encaixe dentro de um quadrado maior, de lado (a + b). Sobra um quadrado torto no meio: é o quadrado c².

Clique em “Reorganizar as peças”. Os mesmos 4 triângulos se movem para os cantos.

Agora sobram dois quadrados: a² no canto e b² no outro canto.

O quadrado grande é o mesmo nos dois casos, e os 4 triângulos também. Então o que sobra tem que ser igual.

Por isso: a² + b² = c². Não é um truque, é a própria área se reorganizando.

Em qualquer triângulo retângulo, vale esta relação entre os lados.

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Repare que a hipotenusa sozinha fica isolada de um lado. Ela é sempre o maior valor.

Catetos 6 e 8. Qual é a hipotenusa?

Monte a equação: substitua os catetos.

Calcule os quadrados: 6² = 36 e 8² = 64.

Some: 36 + 64 = 100.

Tire a raiz quadrada dos dois lados: c = √100 = 10.

Teste: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓

Hipotenusa 13, um cateto 5. Qual é o outro cateto?

Monte a equação, com o cateto desconhecido isolado.

Isole o a²: passe o 25 subtraindo para o outro lado.

169 − 25 = 144.

Tire a raiz: a = √144 = 12.

Teste: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² ✓

Um cateto é x, o outro é 9, e a hipotenusa é 15.

Isole o x²: passe o 81 subtraindo.

225 − 81 = 144.

x² = 144.

Tire a raiz: x = √144 = 12.

Teste: 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15² ✓

Agora o x aparece em dois lados: um cateto é x − 1, o outro é 7, e a hipotenusa é x.

Distributiva: (x − 1)² = x² − 2x + 1.

Repare: o x² aparece dos dois lados da equação. Ele se cancela!

Some os números: 1 + 49 = 50. Sobra −2x + 50 = 0.

Isole o x: 2x = 50.

Divida por 2: x = 25.

Teste: cateto = 24, e 24² + 7² = 576 + 49 = 625 = 25² ✓

Um cateto é x, o outro é x + 7, e a hipotenusa é x + 8.

Distributiva nos dois lados com x ao quadrado.

Some os termos semelhantes. Desta vez o x² não se cancela: vira uma equação do 2º grau.

Fatore ou use a fórmula de Bhaskara.

Os dois números que multiplicados dão −15 e somados dão −2 são −5 e 3.

x = 5 ou x = −3. Como é um comprimento, descartamos o negativo.

Teste: lados 5, 12 e 13. 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓

A escada é a hipotenusa. A distância da parede e a altura são os catetos.